Question

2．已知定义在区间$[-\frac{π}{2}，π]$上的函数y=f（x）的图象关于直线$x=\frac{π}{4}$对称，当$\frac{π}{4}≤x≤π$时，f（x）=sinx．
（I）求y=f（x）的解析式；
（II）如果关于x的方程f（x）=a有解，那么将方程在a取某一确定值时所求得的所有的解的和记为M_a，求M_b的所有可能取值及对应的a的取值范围．

Answer 1

分析 （I）根据已知中在区间$[-\frac{π}{2}，π]$上的函数y=f（x）的图象关于直线$x=\frac{π}{4}$对称，当$\frac{π}{4}≤x≤π$时，f（x）=sinx，我们可根据函数图象对称变换法则求出函数y=f（x）的函数表达式；
（II）作函数f（x）的图象，分析函数的图象得到函数的性质，分类讨论后，结合方程在a取某一确定值时所求得的所有解的和记为M_a，即可得到答案．

解答 解：（I）对于任意的-$\frac{π}{2}$≤x≤$\frac{π}{4}$，都有$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$-x≤π时，…（2分）
由函数y=f（x）的图象关于直线$x=\frac{π}{4}$对称得f（x）=f（$\frac{π}{2}$-x）=sin（$\frac{π}{2}$-x）=cosx…（5分）
所以f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sinx，x∈[\frac{π}{4}，π]}\\{cosx，x∈[-\frac{π}{2}，\frac{π}{4}）}\end{array}\right.$…（6分）
（II）作出函数f（x）的图象（如右下图所示）可知，若方程f（x）=a有解，则a∈[0，1]
①当0≤a＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$或a=1时，f（x）=a有两解，M_a=$\frac{π}{2}$…（8分）

②当a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，f（x）=a有三解，M_a=$\frac{3π}{4}$ …（10分）
③当$\frac{\sqrt{2}}{2}＜a＜1$时，f（x）=a有四解，M_a=π…（12分）

点评 本题考查的知识点是函数解析式的求法--图象变换法，根的存在性及根的个数的判断，其中根据条件结合对称变换法则，求出函数的解析式是解答本题的关键．