Question

13．一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数（例如：若a₁=a₃=a₅=1，a₂=a₄=0，则A=10101，等等），其中二进制数A的各位数字中，已知a₁=1，a_k（k=2，3，4，5）出现0的概率为$\frac{1}{3}$，出现1的概率为$\frac{2}{3}$．记X=a₁+a₂+a₃+a₄+a₅，现在仪器启动一次．
（Ⅰ）求X=3的概率P（X=3）；
（Ⅱ）求X的数学期望E（X）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当X=3时，a₁=1，可得a₂+a₃+a₄+a₅=2，a_k（k=2，3，4，5）中恰有2个取0，有2个取1，即可得出．
（Ⅱ）X可取值是1，2，3，4，5，设Y=X-1，则Y可取值是0，1，2，3，4，因此Y～B$（4，\frac{2}{3}）$，即可得出E（Y），
或直角计算．

解答 解：（Ⅰ）当X=3时，∵a₁=1，∴a₂+a₃+a₄+a₅=2，a_k（k=2，3，4，5）中恰有2个取0，有2个取1，
因此$P（X=3）=C_4^2{（\frac{1}{3}）^2}{（\frac{2}{3}）^2}=\frac{8}{27}$．
（Ⅱ）X可取值是1，2，3，4，5，设Y=X-1，则Y可取值是0，1，2，3，4，
因此Y～B$（4，\frac{2}{3}）$，∴$E（Y）=4×\frac{2}{3}=\frac{8}{3}$，
从而$E（X-1）=\frac{8}{3}$，∴$E（X）=\frac{8}{3}+1=\frac{11}{3}$．
另解：X可取值是1，2，3，4，5，$P（X=1）=C_4^4{（\frac{1}{3}）^4}{（\frac{2}{3}）^0}=\frac{1}{81}$，$P（X=2）=C_4^3{（\frac{1}{3}）^3}{（\frac{2}{3}）^1}=\frac{8}{81}$，$P（X=3）=\frac{8}{27}$，$P（X=4）=C_4^1{（\frac{1}{3}）^1}{（\frac{2}{3}）^3}=\frac{32}{81}$，$P（X=5）=C_4^0{（\frac{1}{3}）^0}{（\frac{2}{3}）^4}=\frac{16}{81}$，
∴X分布列是

X	1	2	3	4	5
P	$\frac{1}{81}$	$\frac{8}{81}$	$\frac{8}{27}$	$\frac{32}{81}$	$\frac{16}{81}$

∴$E（X）=1×\frac{1}{81}+2×\frac{8}{81}+3×\frac{24}{81}+4×\frac{32}{81}+5×\frac{16}{81}=\frac{11}{3}$．

点评 本题考查了随机变量的二项分别的概率计算公式、分布列及其数学期望、二进制，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．