Question

1．（1）已知p：x²-6x+5≤0，q：（x-m+1）•（x-m-1）≤0，若?p是?q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
（2）已知a＞0，设命题p：函数y=a^x在R上单调递减，q：设函数y=$\left\{\begin{array}{l}2x-2a，（x≥2a）\\ 2a，（x＜2a）\end{array}$函数y＞1恒成立，若p∧q为假，p∨q为真，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若?p是?q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件，即[m-1，m+1]⊆[1，5]，即$\left\{\begin{array}{l}m-1≥1\\ m+1≤5\end{array}\right.$，解得：实数m的取值范围．
（2）若p∧q为假，p∨q为真，则两个命题一真一假，进而可得a的取值范围．

解答 解：（1）若命题p：x²-6x+5≤0为真，则x∈[1，5]；
若命题q：（x-m+1）•（x-m-1）≤0真，则x∈[m-1，m+1]，
若?p是?q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件，
即[m-1，m+1]⊆[1，5]，
即$\left\{\begin{array}{l}m-1≥1\\ m+1≤5\end{array}\right.$，
解得：m∈[2，4]；
（2）a＞0时，
若命题p：函数y=a^x在R上单调递减为真，则a∈（0，1），
若命题q：函数y＞1恒成立，则2a＞1，即a∈（$\frac{1}{2}$，+∞）
若p∧q为假，p∨q为真，则两个命题一真一假，
即$\left\{\begin{array}{l}0＜a＜1\\ 0＜a≤\frac{1}{2}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}a≥1\\ a＞\frac{1}{2}\end{array}\right.$，
解得：a∈（0，$\frac{1}{2}$]∪[1，+∞）．

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，充要条件，二次不等式的解法，指数函数的单调性，函数恒成立等知识点，难度中档．