Question

【题目】如图，已知抛物线和点，过点作直线分别交于，两点，为线段的中点，为抛物线上的一个动点.

（1）当时，过点作直线交于另一点，为线段的中点，设，的纵坐标分别为，.求的最小值；

（2）证明：存在的值，使得恒成立.

Answer 1

【答案】（1）的最小值为4；（2）证明见解析.

【解析】

（1）根据题意设出直线与抛物线联立，根据韦达定理及中点坐标公式表示出，的纵坐标，根据基本不等式即可的最小值；

（2）分不经过点Q和经过点Q，不经过时根据题意可得，由（1）联立方程及韦达定理可得关于的方程，根据方程恒成立即可得到的值，再验证经过点Q即可.

（1）因为分别交于A、B两点，所以不平行于轴.

设，，

联立与C方程，得，

且

由韦达定理可得.

因为分别交于A、B两点，所以不平行于轴，即，

又因为，设，

联立与C方程，得，且，

因为N为线段QD的中点，由韦达定理，，

所以，当时取到等号.

故的最小值为4.

（2）当不经过点Q时，等价于，即，

设，，

由（1）联立方程可得韦达定理，

又，同理，

所以

于是，，将(*)式代入整理得，

要使该式恒成立，则，解得.

又经检验，当经过点Q时，仍然成立、

所以，存在，使得恒成立.