Question

10．已知A+B=$\frac{5}{4}$π，且A、B≠kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）．
（Ⅰ）求证：（1+tanA）（1+tanB）=2；
（Ⅱ）求tan$\frac{5}{8}$π的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件利用两角和差的正切公式，变形证得要证的等式．
（Ⅱ）取$A=B=\frac{5}{8}π$，由（Ⅰ）求得tan$\frac{5}{8}$π的值．

解答 证明：（Ⅰ）依题意，$tan（A+B）=tan\frac{5}{4}π=1$，即$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}=1$，故tanA+tanB=1-tanAtanB，
∴（1+tanA）（1+tanB）=1+tanA+tanB+tanAtanB=2成立．
（Ⅱ）取$A=B=\frac{5}{8}π$，由（Ⅰ）得${（1+tan\frac{5}{8}π）^2}=2$，∴$1+tan\frac{5}{8}π=±\sqrt{2}$．
∵$\frac{π}{2}＜\frac{5}{8}π＜π$，∴$tan\frac{5}{8}π=-\sqrt{2}-1$．

点评 本题主要考查两角和差的正弦公式的应用，属于基础题．