Question

已知f(x)=2sin(2x+

π

3

)
（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值，并求取最大值时x的取值集合；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，若f(C)=1，c=

2

，a=2，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）找出ω的值，代入周期公式即可求出f（x）的最小正周期；利用正弦函数的图象与性质求出f（x）的最大值，以及此时x的取值集合即可；
（2）由于f（C）=1，求出C的度数，再由sinC，a，c，利用正弦定理求出sinA的值，确定出A的度数，利用勾股定理求出b的值，即可确定出三角形面积．

解答：解：（1）∵ω=2，∴函数f（x）的最小正周期为T=

2π

2

=π，
f（x）的最大值是2，此时2x+

π

3

=2kπ+

π

3

，即x=kπ+

π

12

，
此时x的取值集合为{x|x=kπ+

π

12

（k∈Z）}；
（2）由f（C）=2sin（2C+

π

3

）=1得sin（2C+

π

3

）=

1

2

，
由于C是△ABC的内角，所以2C+

π

3

=

5π

6

，故C=

π

4

，
由正弦定理得

c

sinC

=

a

sinA

，得到sinA=

asinC

c

=1，
∴A=

π

2

，
∴△ABC是直角三角形，
∴b=

a2+c2

=

2

，
∴S_△ABC=

1

2

bc=

1

2

×

2

×

2

=1．

点评：此题考查了正弦定理，三角函数的周期性及其求法，三角形面积公式，以及勾股定理，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．