Question

已知f(x)=2sin(2x-

π

6

)-m在x∈[0，

π

2

]上有两个不同的零点x₁，x₂，则m取值范围是

[1，2）

，x₁+x₂=

2π

3

．

Answer 1

分析：令t=2x-

π

6

，由x∈[0，

π

2

]，可以得到t的范围，由题意可得y=2sint 和y=m在t上，上有两个不同的交点，从而求得m的取值范围，求出函数的对称轴即可x₁+x₂的值；

解答：解：令t=2x-

π

6

，由x∈[0，

π

2

]，可得-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5

6

π，解得t∈[-

π

6

，

5

6

π]，
由题意可得g（t）=2sint-m 在t∈[-

π

6

，

5

6

π]，上有两个不同的零点，
故 y=2sint 和y=m在t上有两个不同的交点x₁，x₂，如图所示：
可以得到1≤m＜2，
因为x₁，x₂，关于x=

π

3

对称，
∴x₁+x₂=

2π

3

，
故答案为：[1，2），

2π

3

；

点评：本题考查正弦函数的图象，函数的零点的判定方法，体现了数形结合及转化的数学思想，画出图形是解题的关键．