Question

已知f(x)=2sin(

π

6

-2x)+a．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若f（x）的定义域为(-

π

4

，0)时，最大值为3，求a的值．

Answer 1

分析：（1）利用诱导公式可知，f（x）=-2sin（2x-

π

6

）+a，解不等式

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z，即可求得f（x）的单调递增区间；
（2）x∈（-

π

4

，0）⇒

π

6

＜

π

6

-2x＜

2π

3

，利用正弦函数的单调性即可求得f（x）的最大值，依题意可求得a．

解答：解：（1）∵f（x）=2sin（

π

6

-2x）+a=-2sin（2x-

π

6

）+a，
知要使f（x）单调递增，只需

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z，
于是

π

3

+kπ≤x≤

5π

6

+kπ，k∈Z，
∴f（x）的单调递增区间为[

π

3

+kπ，

5π

6

+kπ]，k∈Z．
（2）∵x∈（-

π

4

，0），
∴

π

6

＜

π

6

-2x＜

2π

3

，
∴

1

2

＜sin（

π

6

-2x）≤1，1＜2sin（

π

6

-2x）≤2，
又f（x）的最大值为3，
∴f（x）_max=2+a=3，
∴a=1．

点评：本题考查正弦函数的单调性，着重考查诱导公式的应用与正弦函数的单调性与最值，属于中档题．