题目内容
9．如果关于x的不等式|x-3|+|x-4|≤|a|的解集为空集．（1）求实数a的取值范围；
（2）若实数b与实数a取值范围完全相同，求证：|1-ab|＞|a-b|
分析 （1）由条件利用绝对值的意义，求得实数a的取值范围．
（2）要证的不等式等价于 （1-a2）（1-b2）＞0，由条件得到（1-a2）＞0，且（1-b2）＞0，不等式得证．
解答 解：（1）由于|x-3|+|x-4|≤表示数轴上的x对应点到3、4对应点的距离之和，它的最小值为1，
由于关于x的不等式|x-3|+|x-4|≤|a|的解集为空集，
故|a|＜1，求得-1＜a＜1．
（2）若实数b与实数a取值范围完全相同，即-1＜b＜1，即|b|＜1，
|1-ab|＞|a-b|，等价于 （1-ab）2＞（a-b）2，等价于1+a2b2-a2-b2＞0，
等价于 （1-a2）（1-b2）＞0．
由于（1-a2）＞0，且（1-b2）＞0，故（1-a2）（1-b2）＞0成立，即|1-ab|＞|a-b|成立．
点评 本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．
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