Question

12．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，P、Q分别是棱BC与B₁C₁的中点．
（1）求异面直线D₁P和A₁Q所成角的大小；
（2）求以A₁、D₁、P、Q四点为四个顶点的四面体的体积．

Answer 1

分析 （1）以D为原点，DA，DC，DD₁为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线D₁P和A₁Q所成角．
（2）以A₁、D₁、P、Q四点为四个顶点的四面体的体积V=$\frac{1}{3}×{S}_{△{A}_{1}{D}_{1}Q}×PQ$．

解答 解：（1）以D为原点，DA，DC，DD₁为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则D₁（0，0，4），P（2，4，0），A₁（4，0，4），Q（2，4，4），
$\overrightarrow{{D}_{1}P}$=（2，4，-4），$\overrightarrow{{A}_{1}Q}$=（-2，4，0），
设异面直线D₁P和A₁Q所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{{D}_{1}P}•\overrightarrow{{A}_{1}Q}|}{|\overrightarrow{{D}_{1}P}|•|\overrightarrow{{A}_{1}Q}|}$=$\frac{12}{\sqrt{36}•\sqrt{20}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴θ=arccoa$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴异面直线D₁P和A₁Q所成角为arccos$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
（2）∵${S}_{△{A}_{1}{D}_{1}Q}$=$\frac{1}{2}×4×4$=8，PQ⊥平面A₁D₁Q，且PQ=4，
∴以A₁、D₁、P、Q四点为四个顶点的四面体的体积：
V=$\frac{1}{3}×{S}_{△{A}_{1}{D}_{1}Q}×PQ$=$\frac{1}{3}×8×4$=$\frac{32}{3}$．

点评 本题考查异面直线所成角的求法，考查四面体的体积的求法，是中档题，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想、数形结合思想．