Question

5．已知函数$f（x）=\frac{lnx}{x+a}（{a∈R}）$．
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+y+1=0垂直，求a的值；
（2）讨论方程f（x）=1的实根的情况．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据f′（1）=1，求出a的值即可；（2）得到a=lnx-x，通过讨论a的范围结合函数的单调性判断方程根的情况．

解答 解：（1）由题意得：f′（x）=$\frac{\frac{x+a}{x}-lnx}{{（x+a）}^{2}}$，
故f′（1）=$\frac{1+a}{{（1+a）}^{2}}$=$\frac{1}{1+a}$，
由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的曲线与直线x+y+1=0垂直，得：f′（1）=1，
故$\frac{1}{1+a}$=1，解得：a=0；
（2）方程f（x）=1即$\frac{lnx}{x+a}$=1，a=lnx-x，（x≠-a），
当x=-a时，得：a=ln（-a）-（-a），解得：a=-1，
a=-1时，解得：x=1，当x≠-a，即x≠1，故a=-1时，方程无实数根，
令g（x）=lnx-x，（x＞0），则g′（x）=$\frac{1-x}{x}$，（x＞0），
故x∈（0，1）时，g（x）是递增函数，x∈（1，+∞）时，g（x）是递减函数，
故g（x）≤g（1））=-1，
a＜-1时，由e^a∈（0，1），得：g（e^a）=lne^a-e^a=a-e^a＜a，
又e^-a∈（1，+∞），令h（x）=e^x-2x，则h′（x）=e^x-2，
在区间（1，+∞）上h′（x）＞0，h（x）递增，
故h（x）＞h（1）＞0，即e^x＞2x，故e^-a＞-2a，
故g（e^-a）=-a-e^-a＜-a-（-2a）=a，
故a＜-1时，方程有2个实数根，
当a≥-1时，方程无实数根．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．