Question

8．三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，$PA=2AC=2\sqrt{3}$，AB=1，∠ABC=60°，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为16π．

Answer 1

分析 三棱锥P-ABC的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，然后解答即可．

解答 解：如图，在△ABC中，由正弦定理得$\frac{AC}{sinB}=\frac{AB}{sinC}$⇒sinC=$\frac{1}{2}$，∵C＜B，∴C=30°，∴A=90°，
又∵PA⊥平面ABC，AP，AC，AB两两垂直，
故可将此三棱锥放入一个长、宽、高分别1，$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$为的长方体内，三棱锥的四个顶点亦为长方体的顶点，其外接球为长方体外接球．
易得外接球半径为$\frac{\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}}{4}=2$，故外接球表面积为4πR²=16π．
故答案为：16π．

点评 本题考查球的表面积，考查学生空间想象能力，解答的关键是构造球的内接长方体．是基础题