Question

【题目】在平面直角坐标系中，点在椭圆：上.若点，，且.

（1）求椭圆的离心率；

（2）设椭圆的焦距为4，，是椭圆上不同的两点，线段的垂直平分线为直线，且直线不与轴重合.

①若点，直线过点，求直线的方程；

② 若直线过点，且与轴的交点为，求点横坐标的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)；(2)①.或.②..

【解析】

（1）由题意结合向量的坐标运算法则可得.则椭圆的离心率.

（2）①由题意可得椭圆的方程为，设，计算可得中点为，因为直线过点，据此有.联立方程可得斜率为1或，直线的方程为或.

②设：，则直线的方程为：，所以.联立直线方程与椭圆方程可得.结合直线过点和得到关于m的不等式，求解不等式可得点横坐标的取值范围为.

（1）设，

则，.

因为，

所以，得，

代入椭圆方程得.

因为，所以.

（2）①因为，所以，，

所以椭圆的方程为，

设，则.

因为点，所以中点为，

因为直线过点，直线不与轴重合，

所以，所以，化简得.

将代入化简得，

解得（舍去），或.

将代入得，

所以为，

所以斜率为1或，直线的斜率为-1或，

所以直线的方程为或.

②设：，则直线的方程为：

，所以.

将直线的方程代入椭圆的方程消去得.

设，，中点为，

，代入直线的方程得，

代入直线的方程得.

又因为，

化得.

将代入上式得，解得，

所以，且，

所以.

综上所述，点横坐标的取值范围为.