Question

10．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）上一点P，过双曲线中心的直线交双曲线于A，B两点，记直线PA，PB的斜率分别为k₁，k₂（k₁，k₂均不为零），当$\frac{4}{{{k_1}{k_2}}}$+ln|k₁|+ln|k₂|最小时，双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． 2
• C． $\sqrt{2}+2$
• D． 3

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），由双曲线的对称性得B（-x₁，-y₁），从而得到k₁k₂=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}•\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{1}}$=$\frac{{{y}_{2}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$，利用点差法能推导出$\frac{4}{{{k_1}{k_2}}}$+ln|k₁|+ln|k₂|=$\frac{4}{{{k_1}{k_2}}}$+ln（k₁k₂），再由构造法利用导数性质能求出双曲线的离心率．

解答 解：设A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
由题意知点A，B为过原点的直线与双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的交点，
∴由双曲线的对称性得A，B关于原点对称，
∴B（-x₁，-y₁），${k}_{1}=\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，${k}_{2}=\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{1}}$，
∴k₁k₂=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}•\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{1}}$=$\frac{{{y}_{2}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$，
∵点A，C都在双曲线上，
∴$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{{y}_{1}}^{2}}{{b}^{2}}=1$，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{{y}_{2}}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
两式相减，得：
$\frac{{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{{y}_{1}}^{2}-{{y}_{2}}^{2}}{{b}^{2}}=0$，
∴k₁k₂=$\frac{{{y}_{1}}^{2}-{{y}_{2}}^{2}}{{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}}$=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$＞0，
∴$\frac{4}{{{k_1}{k_2}}}$+ln|k₁|+ln|k₂|=$\frac{4}{{{k_1}{k_2}}}$+ln（k₁k₂），
对于函数y=$\frac{4}{x}$+lnx，x＞0，
由f′（x）=-$\frac{4}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$=$\frac{x-4}{{x}^{2}}$，
x＞4时，f′（x）＞0，
0＜x＜4时，f′（x）＜0，
∴当x=4时，函数y=$\frac{4}{x}$+lnx（x＞0）取得最小值，
∴当$\frac{4}{{{k_1}{k_2}}}$+ln|k₁|+ln|k₂|最小时，此时k₁k₂=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=4，
∴e=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+4}$=$\sqrt{5}$．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，涉及到导数、最值、双曲线、离心率等知识点，综合性强，难度大，解题时要注意构造法的合理运用．