题目内容
20．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F1，P是双曲线右支上的点，若线段PF1与y轴的交点M恰好为线段PF1的中点，且|OM|=b，则该双曲线的离心率为（ ）| A． | $\sqrt{2}$ | B． | $\sqrt{3}$ | C． | 2 | D． | $\sqrt{5}$ |
分析 根据线段PF1与y轴的交点M恰好为线段PF1的中点，得到OM∥PF2，PF2⊥F1F2，结合直角三角形的边角关系进行求解即可．
解答 
解∵线段PF1与y轴的交点M恰好为线段PF1的中点，
∴OM∥PF2，PF2⊥F1F2，
∵|OM|=b，∴|PF2|=2b，
∵|PF1|-|PF2|=2a，
∴|PF1|=|PF2|+2a=2a+2b=2（a+b），
在直角三角形PF1F2中，
4（a+b）2=4b2+4c2，
即（a+b）2=b2+c2，
即a2+2ab+b2=2b2+a2，
即2ab=b2，
b=2a，
则c2=a2+b2=a2+4a2=5a2，
即c=$\sqrt{5}$a，
则离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$，
故选：D
点评 本题主要考查双曲线离心率的计算，根据直径三角形的边角关系建立方程关系是解决本题的关键．
练习册系列答案
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| A． | $\sqrt{5}$ | B． | 2 | C． | $\sqrt{2}+2$ | D． | 3 |
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| A． | 对任意n∈N*，P（n）是真命题 | |
| B． | 对任意n∈N*，仅有P（2n）是真命题 | |
| C． | 对任意n∈N*，仅有P（2n）和P（2n-1）是真命题 | |
| D． | 对任意n∈N*，P（n）不是真命题 |