Question

2．设函数f（x）是定义在R上的增函数，且f（x）≠0，对于任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）•f（y）．
（1）求证：f（x）＞0；
（2）若f（1）=2，解不等式：f（3x）＞4f（x）；
（3）由（1）及题设，写出函数f（x）的一个模型．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=f²（$\frac{x}{2}$）可得出结论；
（2）不等式等价于f（3x）＞f（2）f（x）=f（x+2），再根据f（x）的单调性得出3x＞x+2，解出即可；
（3）根据函数性质可知指数函数符合f（x）的要求．

解答 解：（1）∵f（x）≠0，
∴f（x）=f（$\frac{x}{2}+\frac{x}{2}$）=f²（$\frac{x}{2}$）＞0．
（2）∵f（1）=2，∴f（2）=f²（1）=4，
∴4f（x）=f（2）f（x）=f（x+2），
∴f（3x）＞f（x+2），
∵f（x）是定义在R上的增函数，
∴3x＞x+2，解得x＞1．
（3）f（x）=2^x．

点评 本题考查了函数单调性的应用，属于中档题．