Question

11．若球O的球面上共有三点A、B、C，其中任意两点间的球面距离都等于大圆周长的$\frac{1}{6}$，经过A、B、C这三点的小圆周长为4$\sqrt{3}$π，则球O的体积为288π．

Answer 1

分析 由条件：“经过A、B、C这三点的小圆周长为4$\sqrt{3}$π，”得出正三角形ABC的外接圆半径r=2$\sqrt{3}$，再结合球的性质知：三角形ABC的外接圆半径r、球的半径、球心与三角形ABC的外接圆的圆心的连线构成直角三角形，再利用直角三角形的勾股定理，解出球半径R，即可求出球O的体积．

解答 解：因为正三角形ABC的外径r=2$\sqrt{3}$，故高AD=3$\sqrt{3}$，D是BC的中点．
在△OBC中，BO=CO=R，∠BOC=$\frac{π}{3}$，所以BC=BO=R，BD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$R．
在Rt△ABD中，AB=BC=R，所以由AB²=BD²+AD²，得R²=$\frac{1}{4}$R²+27，所以R=6
则球O的体积为：V=$\frac{4}{3}π•{6}^{3}$=288π．
故答案为：288π．

点评 本题考查学生的空间想象能力，以及对球的性质认识及利用，是中档题．此类题的解法是：充分利用图形的特点构造三角形，根据球的性质结合解三角形解决问题．