Question

数列{a_n}中，Sn=4-an-

1

2n-2

．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）猜想a_n的表达式，并用数学归纳法加以证明．

Answer 1

分析：（1）由Sn=4-an-

1

2n-2

．我们依次将n=1，2，3，4…代入，可以求出a₁，a₂，a₃，a₄；
（2）观察（1）的结论，我们可以推断出a_n的表达式，然后由数学归纳法的步骤，我们先判断n=1时是否成立，然后假设当n=k时，公式成立，只要能证明出当n=k+1时，公式成立即可得到公式对所有的正整数n都成立．

解答：解：（Ⅰ）∵Sn=4-an-

1

2n-2

，∴a1=4-a1-

1

21-2

，即a₁=1，
∵S2=4-a2-

1

22-2

，即a₁+a₂=4-a₂-1，∴a₂=1，
∵S3=4-a3-

1

23-2

，即a₁+a₂+a₃=4-a₃-

1

2

，∴a₃=

3

4

，
∵S4=4-a4-

1

24-2

，即a₁+a₂+a₃+a₄=4-a₄-

1

4

，∴a₃=

1

2

，
（Ⅱ）猜想an=

n

2n-1

证明如下：①当n=1时，a₁=1，此时结论成立；
②假设当n=k（k∈N^*）结论成立，即

a

k

=

k

2k-1

，
那么当n=k+1时，有Sk=4-ak-

1

2k-2

=4-

2k

2k

-

4

2k

=4-

2k+4

2k

∵Sk+1=4-ak+1-

1

2k-1

=Sk+ak+1
∴2ak+1=4-

1

2k-1

-4+

2k+4

2k

=

2k+4-2

2k

=

2k+2

2k

即ak+1=

k+1

2k

，
这就是说n=k+1时结论也成立．
根据①和②，可知对任何n∈N^*时an=

n

2n-1

．

点评：数学归纳法的步骤：①证明n=1时A式成立②然后假设当n=k时，A式成立③证明当n=k+1时，A式也成立④下绪论：A式对所有的正整数n都成立．