Question

已知正项数列{a_n}中，S_n是其前n项的和，且2Sn=an+

1

an

，n∈N⁺．
（Ⅰ）计算出a₁，a₂，a₃，然后猜想数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）用数学归纳法证明你的猜想．

Answer 1

分析：（I）由题意可得Sn=

1

2

(an+

1

an

)，令n=1可得a₁=1，可求得a₂，再由a₂的值求 a₃的值，并猜想a_n，
（II）猜想an=

n

-

n-1

，检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．

解答：解：（I）由于2Sn=an+

1

an

?Sn=

1

2

(an+

1

an

)
当n=1时，a1=

1

2

(a1+

1

a1

)，可得a₁=1，
当n=2时，a1+a2=

1

2

(a2+

1

a2

)，可得a2=

2

-1（a_n＞0），
当n=3时，a1+a2+a3=

1

2

(a3+

1

a3

)，可得a3=

3

-

2

（a_n＞0），
猜想：an=

n

-

n-1

（n∈N₊）
（II）证明：（1）当n=1时，已证．
（2）假设n=k（k≥1）时，ak=

k

-

k-1

成立，则当n=k+1时，ak+1=Sk+1-Sk=

1

2

(ak+1+

1

ak+1

)-

1

2

(ak+

1

ak

)，
即ak+1-

1

ak+1

=-(ak+

1

ak

)=-(

k

-

k-1

+

1

k - k-1

)=-2

k

，
∴ak+1=

k+1

-

k

．
由（1）（2）可知对n∈N₊，an=

n

-

n-1

成立．

点评：本题考查数列的递推公式，用数学归纳法证明等式成立．证明当n=k+1时命题也成立，是解题的难点．