Question

在递增数列{a_n}中，S_n表示数列{a_n}的前n项和，a₁=1，a_n+1=a_n+c（c为常数，n∈N^*），且a₁，a₂，S₃成等比数列．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）若bn+an=2•(-

1

3

)n，n∈N^*，求b₂+b₄+…+b_2n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a_n+1=a_n+c移向，a_n+1-a_n=c，判断出数列{a_n}为等差数列，可以求出通项公式，利用a₁，a₂，S₃成等比数列，列出关于c的方程，结合递增数列确定c．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a_n=2n-1，所以bn=2•(-

1

3

)n-(2n-1)，b2n=2•(-

1

3

)2n-(4n-1)，利用分组求和法化简运算即可．

解答：解：（Ⅰ）a_n+1=a_n+c，a₁=1，移向，a_n+1-a_n=c，c为常数，所以数列{a_n}为等差数列，
其通项公式为a_n=1+（n-1）c．
则a₂=1+c，S₃=1+（1+c）+（1+2c）=3+3c．…（3分）
又a₁，a₂，S₃成等比数列，所以（1+c）²=3+3c，解得c=-1或c=2．
由于{a_n}是递增数列，舍去c=-1，故c=2．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a_n=2n-1，n∈N^*．
所以bn=2•(-

1

3

)n-(2n-1)，b2n=2•(-

1

3

)2n-(4n-1)．…（8分）
从而 b₂+b₄+…+b_2n=

2 9 [1-( 1 9 )n]

1- 1 9

-

n(3+4n-1)

2

=

1

4

(1-

1

9n

)-2n2-n，n∈N^*．…（13分）

点评：本题考查了等差数列、等比数列的定义、通项公式求解，分组求和、公式法数列求和．