Question

在数列{a_n}中，S_n为其前n项之和，且S_n=2ⁿ-1，则a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²等于：

• A、（2ⁿ-1）²
• B、

  1

  3

  (2n-1)2
• C、4ⁿ-1
• D、

  1

  3

  (4n-1)

Answer 1

分析：首先根据前n项和S_n=2ⁿ-1，解出数列a_n通项，在平方，观察到是等比数列，再根据等比数列的前n项和的公式求解．

解答：解：因为a_n=S_n-S_n-1，又S_n=2ⁿ-1
所以a_n=2ⁿ-2^n-1=2^n-1所以，a_n²=4^n-1是等比数列
设A_n=a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²
由等比数列前n项和An=

1-qn

1-q

，q=4
解得An=

1

3

(4n-1)
所以答案为D

点评：此题主要考查数列的求和问题，其中应用到由前n项和求数列通项和等比数列的前n项和公式，这些都需要理解并记忆．