Question

函数f（x）=ax³-3x+1对于x∈[-1，1]总有f（x）≥0成立，则a的取值集合为

 

．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：当x∈（0，1]时，f（x）=ax³-3x+1≥0可化为：a≥

3

x2

-

1

x3

，设g（x）=

3

x2

-

1

x3

，则g′（x）=

3(1-2x)

x4

，由导数性质求出a≥4；x∈[-1，0）时，求出a≤4，由此求出a=4．

解答： 解：若x=0，则不论a取何值，f（x）≥0都成立；
当x＞0即x∈（0，1]时，f（x）=ax³-3x+1≥0可化为：
a≥

3

x2

-

1

x3

，
设g（x）=

3

x2

-

1

x3

，则g′（x）=

3(1-2x)

x4

，
所以g（x）在区间（0，

1

2

]上单调递增，在区间[

1

2

，1]上单调递减，
因此g（x）_max=g（

1

2

）=4，从而a≥4；
当x＜0即x∈[-1，0）时，f（x）=ax³-3x+1≥0可化为：a≤

3

x2

-

1

x3

，
g（x）=

3

x2

-

1

x3

，在区间[-1，0）上单调递增，
因此g（x）_min=g（-1）=4，从而a≤4，
综上a=4．
故答案为：{4}．

点评：本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．