Question

15．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD=$\sqrt{3}$，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．
（1）当点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；
（2）证明：无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF；
（3）求三棱锥P-AEF体积的最大值．

Answer 1

分析 （1）当E为BC中点时，由中位线定理可得EF∥PC，故EF∥平面PAC；
（2）由PA⊥平面ABCD得PA⊥BC，又AB⊥BC得BC⊥平面PAB，故BC⊥AF，由PA=AB得AF⊥PB，故而AF⊥平面PBC，于是AF⊥PE；
（3）当E与C重合时，三棱锥E-PAB的体积最大，即P-AEF体积最大．

解答 解：（1）当点E为BC的中点时，EF∥平面PAC．
∵E，F分别是BC，PB的中点，
∴EF∥PC，又EF?平面PAC，PC?平面PAC，
∴EF∥平面PAC．
（2）∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PA⊥BC，
∵四边形ABCD是矩形，∴AB⊥BC，
又PA?平面PAB，AB?平面PAB，PA∩AB=B，
∴BC⊥平面PAB，∵AF?平面PAB，
∴BC⊥AF，
∵PA=AB，F是PB的中点，
∴AF⊥PB．
又PB?平面PBC，BC?平面PBC，PB∩BC=B，
∴AF⊥平面PBC．∵PE?平面PBC，
∴AF⊥PE．
（3）V_P-AEF=V_E-PAF=$\frac{1}{3}{S}_{△PAE}•EB$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×{1}^{2}×EB$=$\frac{1}{12}EB$．
∴当EB=EC=AD=$\sqrt{3}$时，三棱锥P-AEF的体积取得最大值$\frac{\sqrt{3}}{12}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题．