Question

有以下四个命题：
①y=sin²x+

3

sin2x

的最小值是2

3

②已知f（x）=

x- 11

x- 10

，则f（4）＞f（3）
③y=log_a（2+a^x）（a＞0，a≠1）在R上是增函数
④函数y=2sin（2x-

π

6

）的图象的一个对称中心是（

π

12

，0）
其中真命题的序号是

 

 （把你认为正确命题的序号都填上）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：由对勾函数的单调性求函数最小值判断①；代值后比较大小判断②；由复合函数的单调性判断③；代入x的值求出函数值判断④．

解答： 解：对于①，∵sin²x∈（0，1]，由“对勾函数”的单调性知，y=sin²x+

3

sin2x

的最小值是4．
∴命题①为假命题；
对于②，f（4）=

4- 11

4- 10

，f（3）=

3- 11

3- 10

，
若f（4）＞f（3），则

4- 11

4- 10

＞

3- 11

3- 10

，即(4-

11

)(

10

-3)＞(4-

10

)(

11

-3)，
也就是

10

＞

11

，此式显然不成立，
∴命题②为假命题；
对于③，令t=a^x+2，
∵内层函数t=a^x+2与外层函数y=log_at具有相同的单调性，
∴y=log_a（2+a^x）（a＞0，a≠1）在R上是增函数．
命题③为真命题；
对于④，当x=

π

12

时，y=2sin（2x-

π

6

）=2sin（2×

π

12

-

π

6

）=0．
∴函数y=2sin（2x-

π

6

）的图象的一个对称中心是（

π

12

，0）．
命题④为真命题．
∴正确命题的序号是③④．
故答案为：③④．

点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了利用函数的单调性求最值，训练了复合函数的单调性的判断方法，是中档题．