Question

18．已知在三棱锥P-ABC中，V_P-ABC=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，∠APC=$\frac{π}{4}$，∠BPC=$\frac{π}{3}$，PA⊥AC，PB⊥BC，且平面PAC⊥平面PBC，那么三棱锥P-ABC外接球的半径为2．

Answer 1

分析 利用等体积转换，求出PC，PA⊥AC，PB⊥BC，可得PC的中点为球心，球的半径．

解答 解：由题意，设PC=2x，则
∵PA⊥AC，∠APC=$\frac{π}{4}$，
∴△APC为等腰直角三角形，
∴PC边上的高为x，
∵平面PAC⊥平面PBC，
∴A到平面PBC的距离为x，
∵∠BPC=$\frac{π}{3}$，PA⊥AC，PB⊥BC，
∴PB=x，BC=$\sqrt{3}$x，
∴S_△PBC=$\frac{1}{2}x•\sqrt{3}x$=$\frac{\sqrt{3}}{2}{x}^{2}$，
∴V_P-ABC=V_A-PBC=$\frac{1}{3}×$$\frac{\sqrt{3}}{2}{x}^{2}$×x=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴x=2，
∵PA⊥AC，PB⊥BC，
∴PC的中点为球心，球的半径为2．
故答案为：2．

点评 本题考查三棱锥P-ABC外接球的体积，考查学生的计算能力，正确确定球心与球的半径是关键．