Question

△ABC中，角∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．已知2cos（B-C）-1=4cosBcosC．
（1）求∠A；
（2）若a=4，△ABC的面积为4

3

，求b，c．

Answer 1

分析：（1）利用角恒等变换，化简已知等式可得cos（B+C）=-

1

2

，结合三角形内角的范围算出B+C=

2π

3

，再利用三角形内角和即可得到A的大小；
（2）根据三角形面积公式，结合△ABC的面积为4

3

出bc=16，由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，代入数据化简可得（b+c）²-3bc=16，两式联立可算出b，c的值．

解答：解：（1）∵2cos（B-C）-1=4cosBcosC，
∴2（cosBcosC+sinBsinC）-1=4cosBcosC，
即2（cosBcosC-sinBsinC）=-1，可得2cos（B+C）=-1，
∴cos（B+C）=-

1

2

．
∵0＜B+C＜π，可得B+C=

2π

3

．
∴A=π-（B+C）=

π

3

．…（6分）
（2）由（1），得A=

π

3

．
∵S_△ABC=4

3

∴

1

2

bcsin

π

3

=4

3

得bc=16．①
由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，得
4²=b²+c²-2bccos

π

3

，即b²+c²-bc=16
∴（b+c）²-3bc=16                        ②
将①代入②，得（b+c）²-48=16
∴（b+c）²=64，得b+c=8，∴b=c=4，…（12分）．

点评：本题给出三角形的角满足的条件，求A的大小，并在已知三角形面积的情况下求边长．着重考查了三角恒等变换、正余弦定理和三角形面积公式等知识，属于中档题．