Question

（2012•衡阳模拟）已知函数f（x）=1+cosx+

3

sinx
（1）求函数f（x）的值域；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f（A）=3，a=

13

，b+c=5，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）利用辅助角公式对已知函数进行化简可得f（x）=1+2sin（2x+

π

6

）+1，结合正弦函数的 性质可求函数的值域
（2）由f（A）=2sin（2A+

π

6

）+1=3，结合0＜A＜π可求A，然后由余弦定理可得，a²=b²+c²-2bccosA及已知可求bc，代入三角形的面积公式S=

1

2

bcsinA可求

解答：解：（1）f（x）=1+cosx+

3

sinx=2sin（2x+

π

6

）+1
∵-1≤sin(2x+

π

6

)≤1
∴-1≤2sin(2x+

π

6

)+1≤3
∴函数f（x）的值域为[-1，3]
（2）∵f（A）=2sin（2A+

π

6

）+1=3，
∴sin（A+

π

6

）=1
∵0＜A＜π
∴A+

π

6

=

1

2

π
∴A=

1

3

π
由余弦定理可得，a²=b²+c²-2bccosA
∴a²=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc
∴bc=4
∴S=

1

2

bcsinA=

1

2

×4×

3

2

=

3

点评：本题主要考查了二倍角公式化简三角函数式，y=Asin（ωx+φ）的值域的求解，余弦定理及面积公式的应用，属于中档试题．