Question

（2012•菏泽一模）设函数f（x）=sin（ωx-

π

6

）-2cos2

ω

2

+1（ω＞0）．直线y=

3

与函数y=f（x）图象相邻两交点的距离为π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若点(

B

2

，0)是函数y=f（x）图象的一个对称中心，且b=3，求△ABC外接圆的面积．

Answer 1

分析：（I）将函数表达式展开，再用辅助角公式合并，可得f（x）=

3

sin(ωx-

π

3

)，结合题意知它的周期是π，利用三角函数的周期公式，可得ω=2．
（II）因为点(

B

2

，0)是函数图象的一个对称中心，所以f（

B

2

）=0，结合三角形内角的范围，可得B=

π

3

，最后用正弦定理可以算出外接圆半径R，从而得到△ABC外接圆的面积．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

3

2

sinωx-

1

2

cosωx-cosωx=

3

2

sinωx-

3

2

cosωx
=

3

sin(ωx-

π

3

)…（4分）
∴函数的最大值为

3

∵直线y=

3

与函数y=f（x）图象相邻两交点的距离为π
∴T=

2π

ω

=π，得ω=2…（6分）
（Ⅱ）由（I），得f(x)=

3

sin(2x-

π

3

)
∵点(

B

2

，0)是函数y=f（x）图象的一个对称中心
∴f（

B

2

）=

3

sin(B-

π

3

)=0，可得B-

π

3

=kπ，k∈Z，即B=

π

3

+kπ，k∈Z
因为0＜B＜π，所以取k=0，得B=

π

3

…（9分）
根据正弦定理，得△ABC外接圆直径2R=

b

sinB

=

3

sin π 3

=2

3

，所以R=

3

，
∴△ABC外接圆的面积S=πR²=3π  …（12分）

点评：本题着重考查了两角差的正弦公式、三角函数的降次公式、三角函数的图象与性质和正弦定理等知识，属于中档题，是一道不错的综合题．