Question

（2013•嘉定区二模）在△ABC中，角A，B，C所对应的边a，b，c成等比数列．
（1）求证：0＜B≤

π

3

；
（2）求y=

1+sin2B

sinB+cosB

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由余弦定理求得cosB的值，利用基本不等式求得cosB的范围，即可求得B的范围．
（2）根据三角恒等变换化简y的解析式，再根据正弦函数的定义域和值域，求得y的范围．

解答：解：（1）由已知，b²=ac，所以由余弦定理，
得cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

由基本不等式a²+c²≥2ac，得cosB≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

．
所以cosB∈[

1

2

 ， 1)．因此，0＜B≤

π

3

．
（2）y=

1+sin2B

sinB+cosB

=

(sinB+cosB)2

sinB+cosB

=sinB+cosB=

2

sin(B+

π

4

)，
由（1），0＜B≤

π

3

，所以

π

4

＜B+

π

4

≤

7π

12

，所以sin(B+

π

4

)∈(

2

2

 ， 1]，
所以，y=

1+sin2B

sinB+cosB

的取值范围是(1 ， 

2

]．

点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．