Question

设f（x）是连续的偶函数，且当x＞0时，f（x）是单调函数，则满足f(x)=f(1-

1

x+2

)的所有x之和为

-4

．

Answer 1

分析：由f（x）为偶函数得f（-x）=f（x），由x＞0时f（x）是单调函数推出f（x）不是周期函数．所以，若f（a）=f（b）则有a=b或a=-b．由此求得满足f(x)=f(1-

1

x+2

)的所有x之和．

解答：解：：∵f（x）为偶函数，且当x＞0时f（x）是单调函数，
∴若f（x）=f(1-

1

x+2

)，即 f（x）=f（

x+1

x+2

），
则有 x=

x+1

x+2

，或 x=-

x+1

x+2

． 
即 x²+x-1=0，或x²+3x+1=0．此时x₁+x₂=-1，x₃+x₄=-3．
故满足f(x)=f(1-

1

x+2

)的所有x之和为 x₁+x₂ +x₃+x₄=-4，
故答案为-4．

点评：本题主要考查函数的连续性、单调性、奇偶性的应用，得到x=

x+1

x+2

，或 x=-

x+1

x+2

，是解题的关键，属于基础题．