Question

设f（x）是连续的偶函数，且当x＞0时f（x）是单调函数，则满足f(x)=f(

x+3

x+4

)的所有x之和为（　　）

• A、-3
• B、3
• C、-8
• D、8

Answer 1

分析：f（x）为偶函数?f（-x）=f（x），x＞0时f（x）是单调函数?f（x）不是周期函数．所以若f（a）=f（b）则a=b或a=-b

解答：解：∵f（x）为偶函数，且当x＞0时f（x）是单调函数
∴若f(x)=f(

x+3

x+4

)时，必有x=

x+3

x+4

或-x=

x+3

x+4

，
整理得x²+3x-3=0或x²+5x+3=0，
所以x₁+x₂=-3或x₃+x₄=-5．
∴满足f(x)=f(

x+3

x+4

)的所有x之和为-3+（-5）=-8，
故选C．

点评：本题属于函数性质的综合应用，解决此类题型要注意：
（1）变换自变量与函数值的关系：①奇偶性：f（-x）=f（x）
②增函数x₁＜x₂?f（x₁）＜f（x₂）；减函数x₁＜x₂?f（x₁）＜f（x₂）．
（2）培养数形结合的思想方法．