Question

设f（x）是连续的偶函数，且当x＞0时f（x）是单调函数，求满足f(x)=f(

x+3

x+4

)的所有x之和．

Answer 1

分析：f（x）为偶函数推出f（-x）=f（x），x＞0时f（x）是单调函数，推出f（x）不是周期函数．所以若f（a）=f（b）⇒a=b或a=-b，再利用根与系数的关系进行求解．

解答：解：∵f（x）为偶函数，
∴（x）=f（-x）
∵当x＞0时f（x）是单调函数，
又满足f(x)=f(

x+3

x+4

)，
∴x=

x+3

x+4

或-x=

x+3

x+4

，
可得，x²+3x-3=0或x²+5x+4=0，
∴x₁+x₂=-3，x₃+x₄=-5，
∴x₁+x₂+x₃+x₄=-3+（-5）=-8．

点评：题主要函数奇偶性和单调性的性质，考查了函数的单调性和奇偶性与方程根的联系，属于函数性质的综合应用．