Question

设f（x）是连续的偶函数，且当x＞0时，f（x）是单调的函数，则满足f(x)=f(

x+3

x+4

)的所有的x的和为

 

．

Answer 1

分析：f（x）为偶函数?f（-x）=f（x），x＞0时f（x）是单调函数?f（x）不是周期函数．所以若f（a）=f（b）?a=b或a=-b，再结合已知条件可得正确答案．

解答：解：∵f（x）为偶函数，且当x＞0时f（x）是单调函数
∴若 f(x)=f(

x+3

x+4

)时，即 x=

x+3

x+4

或 -x=

x+3

x+4

，
得x²+3x-3=0或x²+5x+3=0，
此时x₁+x₂=-3或x₃+x₄=-5．
∴满足 f(x)=f(

x+3

x+4

)的所有x之和为-3+（-5）=-8，
故答案为-8．

点评：本题属于函数性质的综合应用，属于中档题．解决此类题型要注意变换自变量与函数值的关系，还要注意分类讨论和数形结合的思想方法的应用．