Question

设f（x）是连续的偶函数，且当x＞0时，f（x）是单调函数，则满足f(x)=f(

x+2

x-1005

)的所有x之和为（　　）

• A、1006
• B、1005
• C、2011
• D、2010

Answer 1

分析：由已知中f（x）是连续的偶函数，且当x＞0时，f（x）是单调函数，我们易得满足f(x)=f(

x+2

x-1005

)时，x=

x+2

x-1005

或-x=

x+2

x-1005

，将分式方程转化为整式方程后，利用韦达定理，易得到答案．

解答：解：∵f（x）是连续的偶函数，且当x＞0时，f（x）是单调函数，
∴当f(x)=f(

x+2

x-1005

)时
x=

x+2

x-1005

或-x=

x+2

x-1005

即x²-1006x-2=0或x²-1004x+2=0
由韦达定理得：
x₁+x₂=1006，x₃+x₄=1004
即满足f(x)=f(

x+2

x-1005

)的所有x之和为1006+1004=2010
故选D

点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中根据函数奇偶性及单调性我们判断出满足f(x)=f(

x+2

x-1005

)时，x=

x+2

x-1005

或-x=

x+2

x-1005

，是解答本题的关键．