Question

椭圆

x2

16

+

y2

4

=1上的两点A、B关于直线2x-2y-3=0对称，则弦AB的中点坐标为（　　）

• A、(-1，

  1

  2

  )
• B、(

  1

  2

  ，-1)
• C、(

  1

  2

  ，2)
• D、(2，

  1

  2

  )

Answer 1

分析：设A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），线段AB的中点M（x₀，y₀），则x0=

x1+x2

2

，y0=

y1+y2

2

．由于A、B关于直线2x-2y-3=0对称，可得k_AB=-1，2x₀-2y₀-3=0．把A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），代入椭圆的方程可得：

x 2 1

16

+

y 2 1

4

=1，

x 2 2

16

+

y 2 2

4

=1．两式相减可得x₀=4y₀．联立解得即可．

解答：解：设A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），线段AB的中点M（x₀，y₀），则x0=

x1+x2

2

，y0=

y1+y2

2

．
∵A、B关于直线2x-2y-3=0对称，∴k_AB=-1，2x₀-2y₀-3=0．
把A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），代入椭圆的方程可得：

x 2 1

16

+

y 2 1

4

=1，

x 2 2

16

+

y 2 2

4

=1．
两式相减得

(x1+x2)(x1-x2)

16

+

(y1+y2)(y1-y2)

4

=0．
∴

2x0

16

+

2y0

4

×(-1)=0，化为x₀=4y₀．
联立

x0=4y0 2x0-2y0-3=0

，解得

x0=2 y0= 1 2

∴弦AB的中点M坐标为(2，

1

2

)．
故选：D．

点评：本题考查了“点差法”、椭圆上存在关于已知直线的对称点问题，考查了分析问题和解决问题的能力，考查了计算能力，属于难题．