题目内容

已知椭圆
x2
16
+
y2
4
=1的焦点为F1，F2，P为椭圆上一点，且∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积为
4
4
．
分析：根据椭圆的方程，算出c=
a2-b2
=2
3
，Rt△F1PF2中利用勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=48．再根据椭圆的定义得到|PF1|+|PF2|=2a=8，两式联解可得|PF1|•|PF2|=8，由此即可得到Rt△F1PF2的面积为S=4．
解答：解：∵椭圆方程为
x2
16
+
y2
4
=1，
∴a2=16且b2=4，可得c=
a2-b2
=2
3

∵∠F1PF2=90°，∴|PF1|2+|PF2|2=（2c）2=48…①
根据椭圆的定义，得|PF1|+|PF2|=2a=8
∴(|PF1|+|PF2|)2=64…②
②减去①，得2|PF1|•|PF2|=16，可得|PF1|•|PF2|=8
∴Rt△F1PF2的面积为S=
1
2
|PF1|•|PF2|=4
故答案为：4
点评：本题给出椭圆的焦点三角形为直角三角形，求焦点三角形的面积．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．
练习册系列答案
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精英家教网已知椭圆
x2
16
+
y2
12
=1，点P为其上一点，F1、F2为椭圆的焦点，Q为射线F1P延长线上一点，且|PQ|=|PF2|，设R为F2Q的中点．
（1）当P点在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方程；
（2）设点R形成的曲线为C，直线l：y=k（x+4
2
）与曲线C相交于A、B两点，若∠AOB=90°时，求k的值．
给出下列命题：
①已知椭圆
x2
16
+
y2
8
=1的两个焦点为F1，F2，则这个椭圆上存在六个不同的点M，使得△F1MF2为直角三角形；
②已知直线l过抛物线y=2x2的焦点，且与这条抛物线交于A，B两点，则|AB|的最小值为2；
③若过双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的一个焦点作它的一条渐近线的垂线，垂足为M，O为坐标原点，则|OM|=a；
④已知⊙C1：x2+y2+2x=0，⊙C2：x2+y2+2y-1=0，则这两个圆恰有2条公切线．
其中正确命题的序号是
 
．（把你认为正确命题的序号都填上）
已知椭圆
x2
16
+
y2
12
=1的左焦点是F1，右焦点是F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|：|PF2|=
 
．
已知椭圆
x2
16
+
y2
12
=1的左焦点是F1，右焦点是F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|：|PF2|=（　　）
已知椭圆
x2
16
+
y2
9
=1与x轴交于A、B两点，焦点为F1、F2．
（1）求以F1、F2为顶点，以A、B为焦点的双曲线E的方程；
（2）M为双曲线E上一点，y轴上一点P (0，
16
3
)，求|MP|取最小值时M点的坐标．

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