题目内容

已知椭圆
x2
16
+
y2
4
=1的左右焦点分别为F1与F2，点P在直线l：x-
3
y+8+2
3
=0上．当∠F1PF2取最大值时，
|PF1|
|PF2|
的比值为
3
-1
3
-1
．
分析：先根据椭圆
x2
16
+
y2
4
=1的方程得出其左右焦点分别为F1（-2
3
，0）、与F2（2
3
，0）．如图，根据平面几何知识知，当∠F1PF2取最大值时，经过F1与F2的圆与直线l 相切，求出圆心坐标，再利用相似三角形的知识得出
|PF 1|
|PF 2|
=
PB
BF 2
，最后利用相似比即可求出答案．
解答：解：椭圆
x2
16
+
y2
4
=1的左右焦点分别为F1（-2
3
，0）、与F2（2
3
，0）．
如图，根据平面几何知识知，当∠F1PF2取最大值时，经过F1与F2，的圆与直线l 相切，此时圆心在y轴上，坐标为A（0，2），
在直线l：x-
3
y+8+2
3
=0中令y=0得B的坐标：
B（-8-2
3
，0），
在三角形BPF1和三角形BF2P中，∠BPF1=∠BF2P，
∴△BPF1∽△BF2P，
∴
|PF 1|
|PF 2|
=
PB
BF 2
=
AB 2-PA 2
BO+OF 2
=
3
-1．
故答案为：
3
-1．
点评：本小题主要考查直线与圆锥曲线的关系、直线与圆的位置关系、圆的切线等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．
练习册系列答案
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精英家教网已知椭圆
x2
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+
y2
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=1，点P为其上一点，F1、F2为椭圆的焦点，Q为射线F1P延长线上一点，且|PQ|=|PF2|，设R为F2Q的中点．
（1）当P点在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方程；
（2）设点R形成的曲线为C，直线l：y=k（x+4
2
）与曲线C相交于A、B两点，若∠AOB=90°时，求k的值．
给出下列命题：
①已知椭圆
x2
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+
y2
8
=1的两个焦点为F1，F2，则这个椭圆上存在六个不同的点M，使得△F1MF2为直角三角形；
②已知直线l过抛物线y=2x2的焦点，且与这条抛物线交于A，B两点，则|AB|的最小值为2；
③若过双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的一个焦点作它的一条渐近线的垂线，垂足为M，O为坐标原点，则|OM|=a；
④已知⊙C1：x2+y2+2x=0，⊙C2：x2+y2+2y-1=0，则这两个圆恰有2条公切线．
其中正确命题的序号是
 
．（把你认为正确命题的序号都填上）
已知椭圆
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+
y2
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=1的左焦点是F1，右焦点是F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|：|PF2|=
 
．
已知椭圆
x2
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+
y2
12
=1的左焦点是F1，右焦点是F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|：|PF2|=（　　）
已知椭圆
x2
16
+
y2
9
=1与x轴交于A、B两点，焦点为F1、F2．
（1）求以F1、F2为顶点，以A、B为焦点的双曲线E的方程；
（2）M为双曲线E上一点，y轴上一点P (0，
16
3
)，求|MP|取最小值时M点的坐标．

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