Question

已知命题P：|x-1|+|x+1|≥3a恒成立；命题q：y=（2a-1）^x为减函数；若p∧q为假，p∨q为真，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：先求出命题p，q下的a的取值范围，再根据p∧q为假，p∨q为真得p，q一真一假，所以讨论p，q的真假情况，求出每一种情况下的a的取值范围，再求并集即可．

解答： 解：∵|x-1|+|x+1|≥|x-1-（x+1）|=2，即|x-1|+|x+1|的最小值为2；
又3a≤|x-1|+|x+1|，∴3a≤2，∴a≤

2

3

；
∵函数（2a-1）^x为减函数，∴0＜2a-1＜1，解得

1

2

＜a＜1；
若p∧q为假，p∨q为真，则p，q一真一假；
若p真q假，则：a≤

2

3

，且a≤

1

2

，或a≥1，∴a≤

1

2

；
若p假q真，则：a＞

2

3

，且

1

2

＜a＜1，∴

2

3

＜a＜1；
∴实数a的取值范围是(-∞，

1

2

]∪(

2

3

，1)．

点评：考查绝对值不等式的性质：|a|+|b|≥|a-b|，指数函数的单调性，p∧q，p∨q的真假和p，q真假的关系．