Question

5．如图，在四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，∠BAD=90°，AD∥BC，PA=AB=BC=1，AD=2，E为PD的中点．
（1）求证：CD⊥平面PAC；
（2）求直线EC与平面PAC所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）连接AC，推导出DC⊥PA，DC⊥AC，由此能证明CD⊥平面PAC．
（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线EC与平面PAC所成角的正切值．

解答 证明：（1）连接AC，∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥DC，即DC⊥PA，
过C作CC′⊥AD，交AD于C′，
则CC′=1，C′D=1，∴CD=2，
又AC=2，∴AC²+CD²=2+2=AD²，
∴DC⊥AC，
∵AC∩PA=A；
∴CD⊥平面PAC．
解：（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
C（1，1，0），E（0，1，$\frac{1}{2}$），P（0，0，1），A（0，0，0），D（0，2，0），
$\overrightarrow{CD}$=（-1，1，0），$\overrightarrow{EC}$=（1，0，-$\frac{1}{2}$），
∵CD⊥平面PAC，∴平面PAC的一个法向量$\overrightarrow{CD}$=（-1，1，0），
设直线EC与平面PAC所成角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{EC}|}{|\overrightarrow{CD}|•|\overrightarrow{EC}|}$=$\frac{|-1|}{\sqrt{2}•\sqrt{\frac{5}{4}}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，cosθ=$\sqrt{1-\frac{10}{25}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
tanθ=$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{15}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴直线EC与平面PAC所成角的正切值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．