Question

10．已知抛物线C顶点在坐标原点，准线垂直于x轴，且过点M（2，2），A，B是抛物线C上两点，满足MA⊥MB，
（1）求抛物线C方程；
（2）证明直线AB过定点．

Answer 1

分析 （1）由题意可设抛物线C的标准方程为：y²=2px（p＞0），把点M（2，2）代入解得p，即可得出．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设直线AB的方程为：my=x+t，与抛物线方程联立化为：y²-2my+2t=0，由MA⊥MB，可得$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=0，利用数量积运算性质、一元二次方程的根与系数的关系即可得出．

解答 （1）解：由题意可设抛物线C的标准方程为：y²=2px（p＞0），
把点M（2，2）代入可得：2²=2p×2，解得p=1．
∴抛物线C方程为y²=2x．
（2）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设直线AB的方程为：my=x+t，
联立$\left\{\begin{array}{l}{my=x+t}\\{{y}^{2}=2x}\end{array}\right.$，化为：y²-2my+2t=0，
△=4m²-8t＞0，∴y₁+y₂=2m，y₁y₂=2t．
∵MA⊥MB，
∴$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=（x₁-2）（x₂-2）+（y₁-2）（y₂-2）=（my₁-t-2）（my₂-t-2）+（y₁-2）（y₂-2）=（m²+1）y₁y₂-（mt+2m+2）（y₁+y₂）+（t+2）²+4=0，
∴（m²+1）×2t-（mt+2m+2）×2m+（t+2）²+4=0，
化为：（2m+t+4）（2m-t-2）=0．
∴t=-2m-4或t=2m-2．
t=-2m-4时，直线AB的方程为：my=x-2m-4，即x-（2+y）m-4=0，此时直线AB经过定点（4，-2）．
t=2m-2时，直线AB的方程为：my=x+2m-2，即x+（2-y）m-2=0，此时直线AB经过定点（2，2），舍去．
综上可得：直线AB经过定点（4，-2）．

点评 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、数量积运算性质、一元二次方程的根与系数的关系、直线经过定点问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．