Question

2．中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．给出定义：能够将圆O的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”．给出下列命题：
①对于任意一个圆O，其“优美函数”有无数个；
②函数f（x）=ln（x²+$\sqrt{{x}^{2}+1}$可以是某个圆的“优美函数”；
③正弦函数y=sinx可以同时是无数个圆的“优美函数”；
④函数y=f（x）是“优美函数”的充要条件为函数y=f（x）的图象是中心对称图形．
其中正确的命题是①③（写出所有正确命题的序号）

Answer 1

分析 过圆心的直线都可以将圆的周长和面积同时平分，故①正确；
作函数ln（x²+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）的大致图象，从而判断．
将圆的圆心放在正弦函数y=sinx的对称中心上，则正弦函数y=sinx是该圆的“优美函数”；故③正确；
函数y=f（x）的图象是中心对称图形，则y=f（x）是“优美函数”，但函数y=f（x）是“优美函数”时，图象不一定是中心对称图形，作图举反例即可．

解答 解：过圆心的直线都可以将圆的周长和面积同时平分，
故对于任意一个圆O，其“优美函数”有无数个，故①正确；
函数f（x）=ln（x²+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）的大致图象如下，
，
故其不可能为圆的“优美函数”；②不正确；
将圆的圆心放在正弦函数y=sinx的对称中心上，
则正弦函数y=sinx是该圆的“优美函数”；
故有无数个圆成立，故③正确；
函数y=f（x）的图象是中心对称图形，则y=f（x）是“优美函数”，
但函数y=f（x）是“优美函数”时，图象不一定是中心对称图形，如下，
，
故答案为：①③．

点评 本题考查了学生的学习能力及数形结合的思想方法应用，属于中档题．