Question

19．若函数g（x）=alnx，对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x²+（a+2）x恒成立，则实数a的取值范围是a≤-1．

Answer 1

分析 由已知条件推导出a≤$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$，（x∈[1，e]），令f（x）=$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$，（x∈[1，e]），由此利用导数性质能求出a的取值范围．

解答 解：由题意得到：a（x-lnx）≤x²-2x．
∵x∈[1，e]，
∴lnx≤1≤x且等号不能同时取，所以lnx＜x，即x-lnx＜0，
因而a≤$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$（x∈[1，e]）
令f（x）=$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$，（x∈[1，e]），
又g′（x）=$\frac{（x-1）（x+2-2lnx）}{（x-lnx）^{2}}$，
当x∈[1，e]时，x-1≥0，lnx≤1，x+2-2lnx＞0，
从而g′（x）≥0（仅当x=1时取等号），
∴g（x）在[1，e]上为增函数，
∴g（x）的最小值为g（1）=-1，
∴a的取值范围是a≤-1．
故答案为：a≤-1．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法和导数性质的合理运用．