Question

如图2-2-4,四面体ABCD中,O、E分别是BD、BC的中点,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=.

图2-2-4

(1)求证:AO⊥平面BCD;

(2)求异面直线AB与CD所成角的大小;

(3)求点E到平面ACD的距离.

Answer 1

思路分析:本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离等基本知识,考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.

(1)证明:连结OC.

∵BO=DO,AB=AD,∴AO⊥BD.

∵BO=DO,BC=CD,∴CO⊥BD.

在△AOC中,由已知可得AO=1,CO=.

而AC=2,∴AO²+CO²=AC².

∴∠AOC=90°,即AO⊥OC.

∵BD∩OC=O,∴AO⊥平面BCD.

(2)解:取AC的中点M,连结OM、ME、OE,由E为BC的中点知ME∥AB,OE∥DC.

∴直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角.

在△OME中,EM=AB=,OE=DC=1,

∵OM是Rt△AOC斜边AC上的中线,∴OM=AC=1.

∴cos∠OEM=.∴异面直线AB与CD所成角的大小为arccos.

(3)解:设点E到平面ACD的距离为h,

∵V_E—ACD=V_A—CDE,∴h·S_△ACD=·AO·S_△CDE.

在△ACD中,CA=CD=2,AD=,

∴S_△ACD=××.

而AO=1,S_△CDE=××2²=,

∴h=AO·.

∴点E到平面ACD的距离为.