Question

如图，是一个从A→B的“闯关”游戏，规则规定：每过一关前都要抛掷一个在各面上分别标有1，2，3，4的均匀的正四面体。在过第n（n=1，2，3）关时，需要抛掷n次正四面体，如果这n次面朝下的数字之和大于2ⁿ，则闯关成功。

（1）求闯第一关成功的概率；
（2）记闯关成功的关数为随机变量X，求X的分布列和数学期望。

Answer 1

解：（1）抛一次正四面体面朝下的数字有1，2，3，4四种情况，大于2的有两种情况，故闯第一关成功的概率为。
（2）记事件“抛掷n次正四面体，这n次面朝下的数字之和大于2n”为事件An， 则P（A1）=，抛掷两次正四面体面朝下的数字之和的情况如图所示， 易知 设抛掷三次正四面体面朝下的数字依次记为：x，y，z， 考虑x+y+z>8的情况，当x=1时，y+z>7有1种情况； 当x=2时，y+z>6有3种情况； 当x=3时，y+z>5有6种情况； 当x=4时，y+z>4有10种情况 故 由题意知，X的所有可能取值为0，1，2，3 ∴X的分布列为 ∴。