Question

如图，五面体A-BCC₁B₁中，AB₁=4．底面ABC是正三角形，AB=2．四边形BCC₁B₁是矩形，平面ABC⊥平面BCC₁B₁，D为AC的中点．
（Ⅰ）证明AB₁∥平面BDC₁；
（Ⅱ）求三棱锥B₁-ABC₁的体积．

Answer 1

分析：（1）连接B₁C交BC₁于O，连接DO，根据四边形BCC₁B₁是矩形可判断出，O为B₁C中点，进而利用D为AC中点，判断出DO∥AB₁，进而根据线面平行的法则判断出AB₁∥平面BDC₁．
（2）首先根据勾股定理求得BB₁，进而求得三角形BC₁B₁的面积，A到平面BCC₁B₁的距离为△ABC的高进而根据三棱锥的体积公式求得答案．

解答：证明：（Ⅰ）连接B₁C交BC₁于O，连接DO，
∵四边形BCC₁B₁是矩形
∴O为B₁C中点
又D为AC中点，从而DO∥AB₁
∵AB₁?平面BDC₁，DO?平面BDC₁
∴AB₁∥平面BDC₁．
（Ⅱ）BB1=

AB12-AB2

=2

3

三角形BC₁B₁的面积S=

1

2

BB1×B1C1=

2 3

2

×2=2

3

A到平面BCC₁B₁的距离为△ABC的高

3

∴VB1-ABC1=VA-BC1B1=

1

3

×2

3

×

3

=2
因此，三棱锥B₁-ABC₁的体积为2．

点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定和三棱锥体积的计算．考查了学生对所学知识的理解和灵活利用．