Question

如图，已知四面体A-BCD的四个顶点都在球M的球面上，BD=2，其余棱长均为

2

，则A、C的球面距离是

π

2

．

Answer 1

分析：取BD的中点O，连结OA、OC，由勾股定理的逆定理，算出△ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形，得OA=

1

2

BD=1，同理得出OC=

1

2

BD=1，从而OA=OB=OC=OD=1，得到球M的球心与BD中点O重合．在△AOC算出∠AOC=90°，利用球面距离计算公式即可算出此A、C的球面距离．

解答：解：取BD的中点O，连结OA、OC，
∵△ABD中，AB=AD=

2

，BD=2
∴△ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形，可得OA=

1

2

BD=1，
同理可得：△BCD中，OC=

1

2

BD=1
因此OA=OB=OC=OD=1，可得以O为球心、1为半径的球面上，
即球M的球心与BD中点O重合，
∵△AOC中，AO=OC=1，AC=

2

∴△AOC是以O为斜边的等腰直角三角形，得∠AOC=90°
因此A、C的球面距离等于

90π×1

180

=

π

2

故答案为：

π

2

点评：本题在三棱锥中求外接球面上两点的球面距离，着重考查了勾股定理的逆定理、多面体的外接球和球面距离公式及其计算等知识，属于中档题．