Question

【题目】已知动圆过点且与直线相切.

（1）求圆心的轨迹的方程；

（2）过的直线与交于，两点，分别过，做的垂线，垂足为，，线段的中点为.

①求证：；

②记四边形，的面积分别为，，若，求.

Answer 1

【答案】（1）（2）①证明见解析；②

【解析】

（1）根据抛物线的定义得到点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，进而求得方程；

（2）①设，，则，，得到，设直线的方程为，与联立，分，两种情况，结合直线垂直的条件证得结果；

②根据三角形的面积比，得到坐标比，结合①，从而得到，得到结果.

（1）∵动圆过点且与直线相切，

∴点到的距离等于到的距离，

∴点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，其方程为.

（2）①证法一：设，，则，，

∵为线段的中点，∴，

依题意可设直线的方程为，

由得，

，，，

∴，

当时，，关于轴对称，点恰为与轴的交点，满足；

当时，，∴，∴，

综上，.

证法二：连接，，设直线与轴的交点为，

∵轴，，∴，

同理，，

∴，

∴，

又，，∴，

∴，即.

②法一：由得，

同理，≌，

故，

由知，异号，故，

∴，，

∴.

法二：由得，

同理，

故，

由对称性，不妨设点在轴上方，直线的倾斜角为，

由定义易得，

∴，同理，

∴，即，

∴.