Question

14．已知向量$\overrightarrow a$=（cosx+sinx，2sinx），$\overrightarrow b$=（cosx-sinx，cosx）．令f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$．
（I）求f（x）的最小正周期；
（II）求f（x）在[${\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}}$]上的单调递增区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）进行数量积的坐标运算并化简即可得出$f（x）=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$，从而便可得出f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）根据x$∈[\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}]$即可求出2x+$\frac{π}{4}$的范围，进而得出2x$+\frac{π}{4}$在哪个范围时f（x）单调递增，进而求出对应x的范围，即得出f（x）的单调递增区间．

解答 解：（I）f（x）=（cosx+sinx）（cosx-sinx）+2sinx•cosx
=cos²x-sin²x+2sinxcosx
=cos2x+sin2x
=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$；
∴$T=\frac{2π}{2}=π$；
即f（x）的最小正周期为π；
（II）$x∈[\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}]$；
∴$（2x+\frac{π}{4}）∈[\frac{3π}{4}，\frac{7π}{4}]$；
∴$（2x+\frac{π}{4}）∈[\frac{3π}{2}，\frac{7π}{4}]$，即$x∈[\frac{5π}{8}，\frac{3π}{4}]$时f（x）单调递增；
∴f（x）的单调递增区间为$[\frac{5π}{8}，\frac{3π}{4}]$．

点评 考查数量积的坐标运算，二倍角的正弦公式，两角和的正余弦公式，以及求最小正周期的计算公式，熟悉正弦函数的图象，以及增函数的定义．