Question

3．己知函数f（x）=ax²+bx+1（a＞0）
（1）?x∈R，函数f（$\frac{2{x}^{2}+3}{{x}^{2}+1}$）有最大值1，求函数f（$\frac{2{x}^{2}+3}{{x}^{2}+1}$）的单调区间；
（2）已知?x₀∈R，使|f（x₀）|≤$\frac{1}{a}$与|f（x₀+$\frac{2}{a}$）|≤$\frac{1}{a}$同时成立，求b²-4a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）运用换元法，结合二次函数的对称轴和区间（2，3]的关系，可得最大值9a+3b+1，求得b=-3a，再由复合函数的单调性，即可得到所求单调区间；
（2）求出二次函数的最值，考察f（x）=ax²+h，当h=0，-$\frac{1}{a}$时，有|f（-$\frac{1}{a}$）|≤$\frac{1}{a}$，|f（-$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{a}$）|≤$\frac{1}{a}$同时成立，令-$\frac{1}{a}$≤$\frac{4a-{b}^{2}}{4a}$≤0，解不等式即可得到．

解答 解：（1）令t=$\frac{2{x}^{2}+3}{{x}^{2}+1}$=2+$\frac{1}{{x}^{2}+1}$∈（2，3]，
由y=f（t）在（2，3]有最大值1，
可得f（3）取得最大值，可得9a+3b+1=0，
即b=-3a，二次函数f（x）=ax²-3ax+1，a＞0，
即有f（x）的对称轴为x=$\frac{3}{2}$，区间（2，3]为增区间成立．
由复合函数的单调性：同增异减，可得
函数f（$\frac{2{x}^{2}+3}{{x}^{2}+1}$）的单调减区间为（-∞，0），（0，+∞），无增区间；
（2）由f（x）=a（x+$\frac{b}{2a}$）²+$\frac{4a-{b}^{2}}{4a}$，
考察f（x）=ax²+h，当h=0时，
有|f（-$\frac{1}{a}$）|≤$\frac{1}{a}$，|f（-$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{a}$）|≤$\frac{1}{a}$同时成立；
当h=-$\frac{1}{a}$时，有|f（-$\frac{1}{a}$）|≤$\frac{1}{a}$，|f（-$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{a}$）|≤$\frac{1}{a}$同时成立．
所以-$\frac{1}{a}$≤h≤0即-$\frac{1}{a}$≤$\frac{4a-{b}^{2}}{4a}$≤0，
由a＞0，可得-1≤4a-b²≤0，
则b²-4a的取值范围是[0，1]．

点评 本题考查二次函数的性质和运用，主要考查二次函数的单调性和最值，同时考查二次不等式的解法，属于难题．