Question

16．已知函数f（x）=-2x²+（a+3）x+1-2x，g（x）=x（1-2x）+a，其中a∈R．
（1）当a=-3时，求函数f（x）在区间[-1，3]上的最小值；
（2）用函数的单调性的定义证明：当a≤1时，f（x）在区间[1，+∞）上为减函数；
（3）当x∈[-1，3]，函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象上方，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出二次函数的对称轴，求得单调区间，计算即可得到最小值；
（2）运用单调性的定义证明，注意作差、变形和定符号、下结论几个步骤；
（3）由题意化简可得ax+1-a＞0在[-1，3]上恒成立，构造一次函数，由单调性可得不等式组，即可求得a的范围．

解答 解：（1）函数f（x）=-2x²+1-2x的对称轴为x=-$\frac{1}{2}$，
在[-1，-$\frac{1}{2}$）递增，在（-$\frac{1}{2}$，3]递减，
可得f（-$\frac{1}{2}$）最大，f（3）最小，且为-23；
（2）证明：当a≤1时，设1≤m＜n，
则f（m）-f（n）=-2m²+（a+3）m+1-2m-[-2n²+（a+3）n+1-2n]
=（m-n）（a+1-2m-2n），
由a≤1时，且1≤m＜n，可得m-n＜0，a+1≤2，-2（m+n）≤-4，
即有a+1-2m-2n＜0，则f（m）-f（n）＞0，
故有f（x）在区间[1，+∞）上为减函数；
（3）当x∈[-1，3]，函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象上方，
即为f（x）＞g（x），即ax+1-a＞0在[-1，3]上恒成立，
设h（a）=ax+1-a，即有$\left\{\begin{array}{l}{g（-1）＞0}\\{g（3）＞0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{1-2a＞0}\\{1+2a＞0}\end{array}\right.$解得a＞$\frac{1}{2}$．
则a的取值范围是（$\frac{1}{2}$，+∞）．

点评 本题考查二次函数的最值的求法，函数的单调性的判断和证明，注意运用定义，同时考查不等式恒成立问题，注意运用函数的单调性，属于中档题．